Работник прогулял первый день работы. Может ли организация аннулировать трудовой договор?

Может. Для этого оформите следующие документы: акт об отсутствии сотрудника на рабочем месте, докладную записку на имя руководителя с просьбой аннулировать договор, приказ о приеме на работу и приказ об аннулировании договора (ч. 4 ст. 61 ТК РФ).